1 Allgemeines
1.1 Begriffsklärung
Ein wichtiges Element zur Aneignung mathematischer Lerngegenstände ist die aktive Auseinandersetzung mit diesen über geeignete Repräsentationen. Mit solchen Repräsentationen kommen Studierende als Mathematik-Lernende (in fachwissenschaftlichen Veranstaltungen) und in ihrer Rolle als zukünftige Lehrkräfte (in fachdidaktischen Veranstaltungen) in Berührung – bisher jedoch noch nicht auf systematische und aufeinander bezugnehmende Weise. Das Lehrprojekt schließt diese Lücke und unterstützt die anschlussfähige Nutzung, Analyse und Entwicklung zentraler Repräsentationen mathematischer Lerngegenstände.
»Zentrale Repräsentation« diente hier als vorläufige Arbeitsbezeichnung. Im Prozess des Projektes stellte sich heraus, dass virtuelle Arbeitsmittel die passendere Bezeichnung der von uns entwickelten Materialien ist. Daher soll zunächst eine begriffliche Einordnung unserer angedachten Produkte in die häufig verwendeten Konzepte wie digitale Lernumgebungen, digitale Werkzeuge, modulare Mathematik-Systeme (MMS), Multirepräsentationssysteme (MRS) und letztlich virtuelle Arbeitsmittel (VAM) erfolgen.
Nach Digel & Roth (2024) lassen sich den modularen Mathematiksysteme (MMS) sowohl digitale Lernumgebungen als auch digitale Werkzeuge, sowie hybride Formen zuordnen. Digitale Lernumgebungen und digitale Werkzeuge unterscheiden sich demnach maßgeblich in ihrem Strukturierungsgrad. Während in digitalen Lernumgebungen eine Konfiguration vollständig vorgegeben ist und die Variationsmöglichkeiten bewusst eingeschränkt sind, sind digitale Werkzeuge leere, unstrukturierte Dateien/Anwendungen, die eine Werkzeugkompetenz voraussetzen. Digitale Werkzeuge sind quasi die »reine Software« mit all ihren Funktionalitäten, wie z. B. ein leeres GeoGebra-Applet. Oder anders: Das Werkzeug ist die Software an sich, die zweckmäßige Gestaltung einer Anwendung mithilfe dieser Software ist die Lernumgebung. Diese Ausgestaltung (meist durch eine lehrende Person) beinhaltet auch das Bereitstellen von Strukturierungs- und Fokussierungshilfen für alle wesentlichen Aspekte (Farbgebung, Linienstärken, Mitführen von Messwerten etc.) sowie den Nutzenden die Möglichkeit zu geben, Elemente ein- und auszuschalten (Roth, 2022). Die Nutzung eines digitalen Werkzeugs zielt also mehr auf den Aufbau einer Werkzeugkompetenz, die einer digitalen Lernumgebung auf Verständnisaufbau in Bezug auf einen mathematischen Lerngegenstand ab. Nicht immer sind Werkzeug und Umgebung klar zu trennen, so gibt es auch hybride Formen, die Eigenschaften und den Grad der (Vor-)Strukturierung beider Begriffe verbinden. So können veränderbare Teilkonfigurationen vorgegeben sein, die ergänzt werden können oder sogar müssen und nur einzelne Strukturierungs- und Fokussierungshilfen vorhanden sein (Digel & Roth, 2024).
Ein solches hybrides Format kann zudem auch als Multirepräsentationssystem (MRS) (Heintz et al., 2016) beschrieben werden. In diesen Systemen werden werden mathematische Objekte – etwa Daten, Kurven oder Funktionen – simultan in mehreren, miteinander verknüpften Repräsentationsformen dargestellt (Barzel & Klinger, 2022). Veränderungen in einer dieser Darstellungsformen führen unmittelbar zu entsprechenden Anpassungen in den anderen, wodurch eine dynamische Wechselwirkung zwischen den Repräsentationen entsteht. Diese Systeme erweisen sich somit als effektive heuristische Werkzeuge zur Förderung des Verständnisses mathematischer Inhalte (Heintz et al., 2016). International wird auch von Mathematics Analysis Software (MAS) (Pierce & Stacey, 2010) gesprochen.
Virtuelle Arbeitsmittel (VAM) sind nach Moyer-Packenham (2016) sind virtuelle Arbeitsmittel »interaktive, technologiegestützte visuelle Darstellung eines dynamischen mathematischen Objekts, einschließlich aller programmierbaren Funktionen, die seine Manipulation ermöglichen und Möglichkeiten zum Aufbau mathematischer Kenntnisse bieten.« Urff reduziert die Beschreibung und fasst Arbeitsmittel als kognitive Werkzeuge zusammen, die bei der Ausbildung mentaler Vorstellungen helfen (2014). Dabei beschreibt er die die didaktische Wirkungsweise von Arbeitsmitteln als einen Prozess, in dem Lernende durch aktive Handlungen am Arbeitsmittel mathematische Aufgabenstellungen bearbeiten. Sie modellieren einen gegebenen Sachverhalt, indem sie beispielsweise Mengen oder Relationen durch konkrete Operationen am Arbeitsmittel repräsentieren. Die während der Bearbeitung sowie nach Abschluss der Handlungen entstehenden Veränderungen der Darstellung werden von den Lernenden kognitiv nachvollzogen und reflektiert. Ihre Aufmerksamkeit richtet sich dabei selektiv auf solche Strukturen des Arbeitsmittels, die vor dem Hintergrund ihrer bisherigen Vorstellungen als bedeutsam erscheinen. Die wahrgenommenen Veränderungen werden interpretativ gedeutet und in bestehende mentale Modelle eingeordnet. Auf diese Weise kann es – im Idealfall – zu einer (Re-)Konstruktion des Verständnisses der zugrunde liegenden mathematischen Zusammenhänge kommen, indem handlungsbasierte Erfahrungen mit strukturellen Merkmalen der Darstellung verknüpft und begrifflich integriert werden (vgl. Urff, 2014, S. 306–307).
Damit lassen sich VAMs den Multirepräsentationssystemen, als eine spezielle hybride Form aus digitaler Lernumgebung und digitalem Werkzeug zuordnen – oder wie es Thurm & Klingbeil (2024) formulieren: »Auch virtuelle Arbeitsmittel […] zählen zu den mathematikspezifischen digitalen Lernmedien.«
1.2 Entwicklungsmodell
Die Entwicklung virtueller Arbeitsmittel im Rahmen dieses Projekts folgt dem integrativen Entwicklungsmodell nach Reinhold (2019). Reinhold betont, dass die Wirksamkeit digitaler Medien im Mathematikunterricht nicht allein dem Medium inhärent ist, sondern aus dem Zusammenwirken von fachdidaktischen, gestalterischen und unterrichtspraktischen Faktoren resultiert.
Das Modell dient in diesem Skript als struktureller Rahmen, um die Komplexität der Repräsentationsentwicklung in drei zentrale Bereiche zu untergliedern:
Abb. 1.1: Angestrebtes Entwicklungsmodell für virtuelle Arbeitsmittel, angelehnt an Reinhold (2019)
Inhaltliche Ebene: Hierunter fallen die fachdidaktischen Analysen des Lerngegenstandes. Für die Hochschulmathematik bedeutet dies die Identifikation der »zentralen Repräsentationen«, die für das Verständnis eines Begriffs (z. B. Konvergenz oder Linearität) unverzichtbar sind. Es geht um die Frage: Was genau soll repräsentiert werden?
Design-Ebene: Diese Säule bezieht sich auf die Gestaltung der VAMs unter Berücksichtigung kognitionspsychologischer Prinzipien. Hier wird festgelegt, wie die Interaktivität, die Rückmeldung und die Darstellungsvernetzung technisch und visuell realisiert werden, um den Lernprozess optimal zu unterstützen. Hierfür wird auf Modelle zurückgegriffen, die sowohl die kognitive Architektur (Arbeitsgedächtnis) als auch nicht-kognitive Variablen berücksichtigen.
Implementierungsebene: Reinhold (2019) unterstreicht, dass ein Werkzeug nur im Kontext seiner Nutzung wirkt. Diese Ebene reflektiert die Einbettung der VAMs in die Hochschullehre – etwa das Zusammenspiel zwischen Studierenden, Dozierenden und dem virtuellen Arbeitsmittel.
Bevor die drei Ebenen des Entwicklungsmodells im Detail auf die spezifischen Anforderungen der Hochschulmathematik übertragen werden, bedarf es einer Fundierung durch übergeordnete theoretische Rahmenmodelle. Diese dienen als Gerüst, um die komplexen Interaktions- und Verarbeitungsprozesse beim Lernen mit virtuellen Arbeitsmitteln systematisch zu betrachten. Hierzu werden im folgenden Kapitel zwei Perspektiven eingenommen: Einerseits die kognitionspsychologische Sichtweise, die den Fokus auf die Informationsverarbeitung im Individuum legt (Hede, 2002; Mayer, 2021), und andererseits die tätigkeitstheoretische Sichtweise, die das Verhältnis zwischen Lernenden, mathematischem Inhalt und dem digitalen Artefakt in den Mittelpunkt rückt (Ladel & Kortenkamp, 2016).