3 Inhalt
»Was muss eigentlich mathematisch in einem VAM drinstecken?«
Die Frage nach dem Inhalt soll zunächst losgelöst von einem ganz konkreten mathematischen Lerngegenstand beantwortet werden. Auf einer Art Meta-Ebene wird diskutiert, welchen inhaltlichen Ansprüchen ein VAM Rechnung tragen soll.
3.1 Graphische Modelle
Eine (originär nicht im digitalen Kontext entwickelte) Grundlage liefert hierzu Fischbein (1977), der beschreibt, wann eigentlich eine Verbildlichung eines mathematischen Begriffs heuristisch wirksam sein kann. Seine Überlegungen haben Bea & Scholz (1995) weiterentwickelt und diese Verbildlichungen als graphische Modelle bezeichnet. Sie beschreiben sie als visuelle Repräsentationen mathematischer Inhalte und Zusammenhänge (z.B. im Rahmen von bedingten Wahrscheinlichkeiten der Wahrscheinlichkeitsbaum, der umgekehrte Wahrscheinlichkeitsbaum oder das Einheitsquadrat). Wir übertragen diese Gedanken auf virtuelle Arbeitsmitteln, denn diese sind nach Moyer-Packenham (2016) »interaktive, technologiegestützte visuelle Darstellung eines dynamischen mathematischen Objekts, einschließlich aller programmierbaren Funktionen, die seine Manipulation ermöglichen und Möglichkeiten zum Aufbau mathematischer Kenntnisse bieten.«
Wir verstehen VAMs in diesem Kontext also als eine Art technologisch entwickeltes, interaktives, graphisches Modell. Die Anforderungen an (analoge) graphische Modelle sollten daher als Mindestanforderungen an VAMs verstanden werden. Mindestanforderungen daher, weil VAMs darüber hinaus auch noch andere spezifische Anforderungen erfüllen sollten – aber dazu später mehr. Hinsichtlich der Mindestanforderungen stellt Fischbein (1977) folgende Bedingungen für die heuristische Wirksamkeit von (graphischen) Modellen auf:
- Strukturelle Übereinstimmung mit dem Original (structural isomorphism“)
- Berücksichtigung von Aspekten der menschlichen Informationsverarbeitung (siehe z.B. Mayer, 2021; Hede, 2002)
- Autonomie vom Original (inner consistency)
Vor allem die Punkte 1 und 3 sind dafür zuständig, dass das Modell gleiche Fähigkeiten und Eigenschaften besitzt wie das Original. Die Wirkung von Punkt 2 lässt sich mehr dem Design und der didaktischen Zugänglichkeit zuschreiben, soll aber im Sinne der Vollständigkeit un Übersichtlichkeit schon hier etwas näher ausgeführt werden. Im Detail können wir die Punkte wie folgt auslegen:
Der strukturelle Isomorphismus (1.) meint, dass zwischen dem Original und dem Modell eine Reihe von invarianten, konsistenten, kohärenten und wechselseitigen Beziehungen bestehen müssen (Fischbein, 2002, S. 123), das Modell insbesondere alle relevanten Sachverhalte enthält (Bea & Scholz, 1995). Das Modell sollte also genauso gebaut sein und sich so verhalten, wie das, was es repräsentiert – nur dann ist es gut. Außerdem muss es »dem natürlichen Wesen der menschlichen Informationsverarbeitung möglichst gut entsprechen, also kognitiv leicht zugängliche Gestaltungselemente enthalten« (2., Bea & Scholz, 1995, S. 301). Was das genau bedeutet werden wir im Kapitel 4 zum Design besprechen, u.a. mit Bezugnahme zu einigen Prinzipien im Rahmen der kognitiven Theorie multimedialen Lernens nach Mayer (2021). Die Autonomie vom Original (3.) ist wieder inhaltlicher Natur: So wird verlangt, dass das Modell nicht nur in Verbindung mit dem mathematischen »Original«, sondern an Stelle dieses Originals eingesetzt werden kann. Das heißt, »ein Modell, das für die Erzeugung und Kontrolle jedes seiner Schritte auf das Original zurückgreifen muss, ist heuristisch unbrauchbar. Die Autonomie eines dynamischen Systems bedeutet, dass es gut strukturiert, in sich konsistent und von seinen eigenen Gesetzen geleitet sein muss« (Fischbein, 2002, S. 123). In einfachen Worten meint das: Ein mathematisches Problem muss mit dem Modell allein gelöst werden können.
3.2 Übertragung auf VAM
Fischbein (2002) merkt an, dass diese Bedingungen zu teils widersprüchlichen Anforderungen an ein Modell führen: Ein Modell muss in sich konsistent sein und gleichzeitig einerseits mit dem Original und andererseits mit den Merkmalen der menschlichen Kognition übereinstimmen. Diese Situation erlegt Modellen eine Reihe von Beschränkungen auf, die nicht ohne Weiteres von ein und derselben mentalen Repräsentation gleichzeitig erfüllt werden können. Darüber hinaus müssen wir darüber nachdenken, wie die konkrete Übertragung dieser Anforderungen an graphische Modelle auf VAMs übertragen werden können und was wir dabei berücksichtigen müssen.
Hierzu einige Vorschläge:
Strukturelle Isomorphie
Übertragung: Beim statischen (graphischen) Modell muss die Zeichnung stimmen. Beim VAM muss auch die Dynamik stimmen. Wenn etwas im VAM verändert wird, müssen sich alle abhängigen Größen mathematisch korrekt verhalten.
Schwierigkeit: In digitalen Umgebungen besteht die Gefahr der »numerischen Artefakte«. Wenn Rundungsfehler oder Sprünge in der Animation auftreten, wird (wenn man es genau nimmt) die Isomorphie verletzt. Zudem muss das VAM auch Grenzfälle präzise abbilden, ohne dass die visuelle Darstellung kollabiert.
Berücksichtigung menschlicher Informationsverarbeitung
Übertragung: Ein VAM erfüllt dieses Kriterium oft besser als ein statisches Bild, da es durch Animation Prozesse explizit macht, die sonst im Kopf mühsam simuliert werden müssten.
Schwierigkeit: Hier droht der »Interaktivitäts-Overload«. Zu viele Interaktionsmöglichkeiten können die Aufmerksamkeit von der mathematischen Kernstruktur ablenken. Das Design muss die Aufmerksamkeit aktiv lenken, statt vorwiegend »Spielereien« anzubieten.
Autonomie
Übertragung: Ein VAM kann autonom agieren. Studierende könnten darin experimentieren, ohne das Lehrbuch aufzuschlagen. Es bildet im besten Fall ein eigenes »mathematisches Labor«.
Schwierigkeit: Fischbein (1977) fordert, dass das Modell »an Stelle des Originals« treten kann. Die Schwierigkeit hierbei besteht darin, dass das VAM nicht voraussetzen sollte, dass man den mathematischen Lerngegenstand schon beherrscht, denn dann wäre es »pseudo-konkret«, also ein bloßes Symbolsystem. Die Generativität wäre damit verloren. Ein solches VAM könnte »nur noch« zur Überprüfung von Wissen genutzt werden. Der primäre Zweck sollte aber Verständnisaufbau durch das VAM sein und nicht Verständnisprüfung.
Bea & Scholz (1995) fügen diesen Anforderungen noch das Kriterium Generelle Einsetzbarkeit hinzu. Im Kontext der bedingten Wahrscheinlichkeit erklären sie die generelle Einsetzbarkeit als das Potenzial des Modells auch für andere mathematischen Inhalte (in der Wahrscheinlicghkeitsrechnung oder sogar anderen Inhaltsbereichen der Mathematik) einsetzbar zu sein, also bestenfalls inhaltsunabhängig zu funktionieren. Dieses geforderte Kriterium ist bei virtuellen Arbeitsmitteln ambivalent zu bewerten. Während klassische graphische Modelle (wie das Einheitsquadrat) ihre Stärke in der Inhaltsunabhängigkeit haben, liegt der Fokus moderner VAMs oft auf einer spezifischen Tiefenstruktur (vgl. Moyer-Packenham (2016)). Das heißt, ein hochgradig isomorphes VAM ist für andere Themen kaum einsetzbar. Die Forderung nach genereller Einsetzbarkeit könnte hier zu einer didaktischen Unterkomplexität führen. Aber: Ein VAM ist gerade deshalb wirksam, weil es nicht alles kann – die Einschränkung ist ein Qualitätsmerkmal (vgl. Roth, 2022). Ein leeres CAS ist ein mächtiges Werkzeug, aber ein schlechtes VAM, weil es die Lernenden nicht führt. Hierbei zeigt sich ein terminologisches Spannungsfeld: Während Bea & Scholz (1995) die generelle Einsetzbarkeit als Gütekriterium für graphische Modelle anführen, würde eine zu weitreichende Offenheit auf Ebene des virtuellen Arbeitsmittels dessen Charakter als didaktisch strukturiertes Medium untergraben.
Auch die Verstehensorientierung, die sich durch die Fokussierung auf spezifische Kompetenzziele und den Aufbau tragfähiger Vorstellungen auszeichnet, würde dadurch anfechtbar werden. Wie schon in der Begriffsklärung in Abschnitt 1.1 angedeutet, bewegt sich ein VAM im Rahmen einer ausbalancierten (Vor-)strukturierung. Die Entscheidung über den Grad der Vorstrukturierung ist stets zielorientiert zu treffen und wird an der Frage ausgerichtet welche Strukturierung notwendig ist, um die intendierten Lernprozesse auszulösen, ohne die kognitive Eigenaktivität der Lernenden einzuschränken (vgl. Barzel & Klinger, 2022, S. 97).
3.3 Zusammenfassung »Inhalt«
Zusammenfassend formulieren wir als Antwort auf die Frage »Was muss eigentlich mathematisch in einem VAM drinstecken?«:
Mathematisch muss in einem VAM demnach eine strukturell isomorphe und in sich konsistente Abbildung des Lerngegenstandes stecken, die als autonomes, generatives Denkwerkzeug eine explorative Problemlösung ohne permanenten Rückgriff auf das formale Original ermöglicht.
Damit ist ein Zielzustand gesetzt, dem ein VAM inhaltlich entsprechen soll. Es bleibt die Frage, wie wir diesen inhaltlichen Zustand für konkrete Lerngegenstände erreichen. Intuitiv gesprochen, müssen wir uns eben »inhaltlich mit dem Lerngegenstand auseinandersetzen«. Präziser formuliert bedeutet das: Wir führen eine stoffdidaktische Analyse durch, die Hußmann & Prediger (2016) als Suche nach den elementaren Strukturen und Repräsentationen eines Lerngegenstandes beschreiben (zum konkreten Vorgehen siehe bspw. Etzold, 2026)
Die Kriterien »Strukturelle Übereinstimmung (Isomorphie)« und »Autonomie vom Original« sind primär Gegenstand der stoffdidaktischen Analyse.
- Strukturelle Isomorphie: Um sicherzustellen, dass das VAM die invarianten Beziehungen des mathematischen Objekts korrekt abbildet, muss eine tiefgehende fachdidaktische Durchdringung des Inhalts erfolgen. Hier wird festgelegt, welche mathematischen Aspekte das Modell zwingend enthalten muss, um valide zu sein.
- Autonomie vom Original: Die Entscheidung, wie weit ein Modell als eigenständiges »Denkzeug« funktionieren kann, ohne permanent auf die formale Definition rückgreifen zu müssen, erfordert eine Analyse der kognitiven Hürden des spezifischen mathematischen Inhalts.
Das Kriterium der „Berücksichtigung der menschlichen Informationsverarbeitung“ fungiert nun als Schnittstelle zur Lehr-Lern-Psychologie und Mediendidaktik. Während Fischbein (1977) die Notwendigkeit dieser Berücksichtigung zwar benennt, liefern modernere Frameworks wie die kognitive Theorie multimedialen Lernens (Mayer (2021)) oder das integrative Modell nach Hede (2002) konkrete Gestaltungsansätze. Diese Anforderungen bestimmen nicht, was repräsentiert wird, sondern wie die Repräsentation visuell und interaktiv aufbereitet sein muss, um die Aufmerksamkeit zu steuern und die kognitive Last zu minimieren. Derartige Überlegungen finden auf der Ebene des Designs im nächsten Kapitel statt.